計算機科學中的數學：信息與智能時代的必修課

ISBN13：9787121355332

出版社：電子工業出版社

作者：(美)Eric,Lehman（埃里克,雷曼）

譯者：唐李洋

出版日：2019/04/01

裝訂／頁數：平裝／832頁

規格：26cm*19cm (高/寬)

版次：一版

內容介紹

本書原為麻省理工學院計算機科學與工程專業的數學課程講義，谷歌技術專家參與編寫，涵蓋計算機科學涉及的全部基礎數學知識，包括形式邏輯符號、數學證明、歸納、集合與關係、圖論基礎、排列與組合、計數原理、離散概率、遞歸等，特別強調數學定義、證明及其應用方法。本書因具有系統、完整，以及有趣、易讀等明顯優勢，現已被全球IT技術相關從業者及準從業者奉為圭臬、廣泛傳閱，在人工智慧日益普及的全新資訊時代，更是大放異彩。本書適合電腦相關專業學生及從業人員作為數學入門教材，亦可作為統計、機器學習、資料探勘等課程的寶貴資料。

編輯推薦

谷歌軟件工程大牛與MIT資深教授強強聯手貫通產學界的案頭寶典。

薈萃歷經60餘年沉澱積累、不斷優化更新的CS方向數學知識精華。

人工智能時代數學成為AI從業敲門磚，走向核心崗位的內家心法。

內容炸裂，知識點無死角，給譽為“史上最有趣的數學講義”。

 序

譯者序

計算機科學與數學是密不可分的。不論是計算機本身的數值計算、邏輯推理、符號處理等，還是計算機程序中應用到的數學思想和算法，數學在計算機科學中仿佛靈魂一般地存在。另一方面，隨著機器學習、人工智能、大數據等新興技術的飛速發展以及計算性能的飛躍性提升，計算機為數學算法、模型及方法論的實踐化提供了更豐富的空間和可能。《計算機科學中的數學：信息與智能時代的必修課》便是計算機科學和數學相關領域的最佳入門圖書。

《計算機科學中的數學：信息與智能時代的必修課》是谷歌工程師Eric Lehman，與麻省理工學院的兩位教授F. Thomson Leighton和Albert R. Meyer合著的教科書，也是麻省理工學院計算機專業本科公開課的講義。

目錄

第I部分　數學證明

引言 3

0.1　參考文獻 4

第1章　什麼是證明 5

1.1　命題 5

1.2 謂詞 8

1.3 公理化方法 8

1.4　我們的公理 9

1.4.1　邏輯推理 9

1.4.2　證明的模式 10

1.5　證明蘊涵 10

1.5.1　方法#1 11

1.5.2　方法#2：證明逆反命題 12

1.6 證明「當且僅當」 13

1.6.1 方法#1：證明兩個語句相互蘊涵 13

1.6.2 方法#2：建構iff鏈 13

1.7　案例證明法 14

1.8 反證法 15

1.9 數學證明的優秀實踐 16

1.10 參考文獻 18

1.1節習題 18

1.5節習題 21

1.7節習題 21

1.8節習題 23

第2章　良序原理 26

2.1　良序證明 26

2.2 良序證明範本 27

2.2.1 整數求和 27

2.3　質因數分解 29

2.4　良序集合 29

2.4.1　不一樣的良序集合（選學） 30

2.2節習題 31

2.4節習題 38

第3章 邏輯公式 40

3.1 命題的命題 41

3.1.1 NOT，AND和OR 41

3.1.2 當且僅當 42

3.1.3 IMPLIES 42

3.2 電腦程式的命題邏輯 44

3.2.1 真值表計算 45

3.2.2 符號表示 46

3.3 等價性和有效性 47

3.3.1 蘊涵與逆否 47

3.3.2 永真性與可滿足性 48

3.4 命題代數 49

3.4.1 命題範式 49

3.4.2 等價性證明 50

3.5 SAT問題 53

3.6 謂詞公式 54

3.6.1 量詞 54

3.6.2 混合量詞 55

3.6.3 量詞的順序 56

3.6.4 變數與域 56

3.6.5 否定量詞 57

3.6.6 謂詞公式的永真性 57

3.7 參考文獻 58

3.1節習題 59

3.2節習題 61

3.3節習題 65

3.4節習題 68

3.5節習題 69

3.6節習題 71

第4章 數學資料型態 79

4.1 集合 79

4.1.1 常用集合 80

4.1.2 集合的比較與組合 80

4.1.3 冪集 81

4.1.4 集合構造器標記 82

4.1.5 證明集合相等 82

4.2 序列 83

4.3 函數 84

4.3.1 域和像 84

4.3.2 函數複合 86

4.4 二元關係 86

4.4.1 關係圖 87

4.4.2 關係的像 89

4.5 有限基數 90

4.5.1 有限集合有多少個子集 91

4.1節習題 92

4.2節習題 96

4.4節習題 97

4.5節習題 105

第5章 歸納法 107

5.1 一般歸納法 107

5.1.1 一般歸納法的規則 108

5.1.2 舉例說明 108

5.1.3 歸納法證明的範本 109

5.1.4 一般歸納法的簡潔寫法 110

5.1.5 更複雜的例子 111

5.1.6 錯誤的歸納證明 113

5.2 強歸納法 115

5.2.1 強歸納法的規則 115

5.2.2 斐波那契數列 116

5.2.3 質數的乘積 117

5.2.4 找零問題 118

5.2.5 堆盒遊戲 119

5.3 強歸納法、一般歸納法和良序法的比較 120

5.1節習題 121

5.2節習題 131

第6章　狀態機 136

6.1 狀態與轉移 136

6.2 不變性原理 137

6.2.1 沿對角線移動的機器人 137

6.2.2 不變性原理的定義 139

6.2.3 例：《虎膽龍威》 141

6.3 偏序正確性與終止性 143

6.3.1 快速求冪 143

6.3.2 派生變數 145

6.3.3 基於良序集合的終止性（選學） 146

6.3.4 東南方向跳躍的機器人（選學） 146

6.4 穩定的婚姻 147

6.4.1 配對儀式 148

6.4.2 我們結婚吧 150

6.4.3 他們從此幸福地生活在一起 150

6.4.4 竟然是男性… 151

6.4.5 應用 152

6.3節習題 153

6.4節習題 165

第7章 遞迴資料型態 172

7.1 遞歸定義與結構歸納法 172

7.1.1 結構歸納法 174

7.2 符合帶括號的字串 175

7.3 非負整數上的遞迴函數 179

7.3.1 N上的一些標準遞歸函數 179

7.3.2 不規範的函數定義 179

7.4 算術表達式 181

7.4.1 Aexp的替換與求值 181

7.5 計算機科學中的歸納 185

7.1節習題 185

7.2節習題 193

7.3節習題 201

7.4節習題 202

第8章 無限集 206

8.1 無限基數集 206

8.1.1 不同之處 209

8.1.2 可數集 209

8.1.3 冪集的勢嚴格大於原集合 211

8.1.4 對角線證明 213

8.2 停止問題 214

8.3 集合邏輯 217

8.3.1 羅素悖論 217

8.3.2 集合的ZFC公理系統 218

8.3.3 避免羅素悖論 220

8.4 這些真的有效嗎 220

8.4.1 計算機科學中的無窮大 221

8.1節習題 221

8.2節習題 228

8.3節習題 233

8.4節習題 236

第Ⅱ部分　結構

引言 241

第9章　數論 242

9.1 整除 242

9.1.1 整除的性質 243

9.1.2 不可整除問題 244

9.1.3 虎膽龍威 245

9.2 公約數 247

9.2.1 歐幾裡得演算法 247

9.2.2 粉碎機 249

9.2.3 水壺問題的通解 251

9.2.4 公約數的性質 252

9.3 質數的奧秘 253

9.4 算術基本定理 255

9.4.1 分解定理的證明 256

9.5 阿蘭‧圖靈 257

9.5.1 圖靈編碼（1.0版） 258

9.5.2 破解圖靈編碼（1.0版） 260

9.6 模運算 260

9.7 餘運算 262

9.7.1 環Z_n 264

9.8 圖靈編碼（2.0版） 265

9.9 倒數與約去 266

9.9.1 互質 267

9.9.2 約去 268

9.9.3 解密（2.0版） 268

9.9.4 破解圖靈編碼（2.0版） 269

9.9.5 圖靈後記 269

9.10 歐拉定理 271

9.10.1 計算歐拉?函數 273

9.11 RSA公鑰加密 274

9.12 SAT與RSA有什麼關係 276

9.13　參考文獻 277

9.1節習題 277

9.2節習題 278

9.3節習題 285

9.4節習題 285

9.6節習題 287

9.7節習題 288

9.8節習題 293

9.9節習題 293

9.10節習題 295

9.11節習題 303

第10章 有向圖和偏序 309

10.1 頂點的度 311

10.2 路和通路 311

10.2.1 找出通路 313

10.3 鄰接矩陣 314

10.3.1 短路徑 315

10.4 路關係 316

10.4.1 複合關係 316

10.5 有向無環圖＆調度 317

10.5.1 調度 318

10.5.2 並行任務調度 320

10.5.3 Dilworth引理 322

10.6 偏序 323

10.6.1 DAG中路關係的性質 323

10.6.2 嚴格偏序 324

10.6.3 弱偏序 325

10.7 用集合包含表示偏序 326

10.8 線性序 327

10.9 乘積序 327

10.10 等價關係 328

10.10.1 等價類 328

10.11 關係性質的總結 329

10.1節習題 330

10.2節習題 331

10.3節習題 334

10.4節習題 335

10.5節習題 338

10.6節習題 344

10.7節習題 347

10.8節習題 349

10.9節習題 352

10.10節習題 354

第11章　通訊網路 357

11.1 路由 357

11.1.1 完全二元樹 357

11.1.2 路由問題 358

11.2 路由的評估指標 358

11.2.1 網路直徑 358

11.2.2 交換器的數量 359

11.2.3 網路時延 359

11.2.4 擁塞 360

11.3 網路設計 361

11.3.1 二維陣列 361

11.3.2 蝶形網 362

11.3.3　Benes ?網 363

11.2節習題 368

11.3節習題 368

第12章　簡單圖 373

12.1 頂點鄰接和度 373

12.2 美國異性伴侶統計 375

12.2.1 握手引理 376

12.3 一些常見的圖 377

12.4 同構 378

12.5 二分圖與匹配 380

12.5.1 二分匹配問題 380

12.5.2 匹配條件 381

12.6 著色 384

12.6.1 一個考試安排問題 384

12.6.2 一些著色邊界 386

12.6.3 為什麼要著色 387

12.7 簡單路 388

12.7.1 簡單圖中的路、通路與圈 388

12.7.2 圈作為子圖 389

12.8 連通性 390

12.8.1 連通分量 390

12.8.2 奇數長度的圈和2-著色性 391

12.8.3 k?C連通圖 392

12.8.4 連通圖的小邊數 393

12.9 森林與樹 394

12.9.1 葉子、父母和孩子 394

12.9.2 性質 395

12.9.3 生成樹 397

12.9.4 小生成樹 397

12.10　參考文獻 401

12.2節習題 402

12.4節習題 403

12.5節習題 406

12.6節習題 411

12.7節習題 418

12.8節習題 420

12.9節習題 424

第13章　平面圖 431

13.1　在平面上繪製圖形 431

13.2　平面圖的定義 433

13.2.1 面 434

13.2.2 平面嵌入的遞歸定義 436

13.2.3 這個定義行嗎 438

13.2.4 外表面在哪裡呢 438

13.3 歐拉公式 439

13.4 平面圖中邊的數量限制 440

13.5 返回K_5和K_3,3 441

13.6 平面圖的著色 442

13.7 多面體的分類 443

13.8 平面圖的另一個特徵 445

13.2節習題 446

13.8節習題 447

第Ⅲ部分　計數

引言 455

第14章 求和與漸近性 457

14.1　年金的值 458

14.1.1 錢未來的價值 458

14.1.2 擾動法 459

14.1.3 年金價值的閉型 460

14.1.4 無限長的等比數列 460

14.1.5 範例 461

14.1.6 等比數列求和的變化 462

14.2 冪和 463

14.3 估算求和式子 465

14.4 超出邊界 468

14.4.1 問題陳述 468

14.4.2 調和數 471

14.4.3 漸近等式 473

14.5 乘積 474

14.5.1 斯特林公式 475

14.6 雙倍的麻煩 477

14.7 漸近符號 479

14.7.1 小o 479

14.7.2　大O 479

14.7.3 θ 481

14.7.4 漸近符號的誤區 482

14.7.5 Ω（選學） 484

14.1節習題 484

14.2節習題 486

14.3節習題 486

14.4節習題 488

14.7節習題 490

第15章 基數法則 499

15.1 透過其他計數來計算目前計數 499

15.1.1 雙射規則 499

15.2 序列計數 500

15.2.1 乘積法則 501

15.2.2 n-元素集合的子集 501

15.2.3 加和法則 502

15.2.4 密碼計數 502

15.3 廣義乘積法則 503

15.3.1 有缺陷的美元鈔票 504

15.3.2 一個象棋問題 505

15.3.3 排列 505

15.4 除法法則 506

15.4.1 另一個象棋問題 506

15.4.2 圓桌騎士 507

15.5 子集計數 508

15.5.1 子集法則 509

15.5.2 位元序列 510

......

22.2.1 尋找遞推 784

22.2.2 求解遞推 784

22.3 線性遞推 786

22.3.1 爬樓梯 786

22.3.2 求解齊次線性遞推 789

22.3.3 求解一般線性遞推 790

22.3.4 如何猜測特解 792

22.4 分治遞推 793

22.4.1 Akra-Bazzi公式 794

22.4.2 兩個技術問題 795

22.4.3 Akra-Bazzi定理 796

22.4.4 主定理 797

22.5 進一步探索 797

22.4節習題 799

參考文獻 802

符號表 806

具體數學 計算機科學基礎(原書第2版) 典藏版

(美)葛立恆(Ronald L.Graham),(美)高德納(Donald E.Knuth),(美)奧倫‧帕塔什尼克(Oren Patashnik) 著

出 版 社:機械工業出版社

頁 數:636

出版日期:2020年01月01日

裝 幀:平裝

ISBN:9787111641957

內容介紹

《具體數學：計算機科學基礎（原書第2版 典藏版）》介紹高級計算機程式設計和算法分析所涉及的數學知識，目的是為解決複雜問題、求解規模龐大的求和問題以及探索數據中的微妙模式提供堅實的數學基礎。該書對於每一個涉及數學學科的學生來說都是一本推薦的教科書和參考書。

具體數學是連續數學和離散數學的融合。書中討論的話題是高德納的經典著作《電腦程式設計藝術》中數學基礎部分的擴展，但這本書的表達風格更加輕鬆活潑，對一些主題的討論更加深入，同時增加了一些新的內容並將重要的思想貫穿全書始末。

書中包含500多道習題，分為6大類。除了研究題外，其餘（暖身題、基本題、作業題、測驗題和附加題）都給了完整答案，為自學提供了有益的幫助。

該書也在邊欄處給出了選修過該課程的學生寫的旁白，作者希望在傳達數學方法的重要性的同時，增加學生的學習樂趣。

作者介紹

(美)葛立恆(Ronald L.Graham),(美)高德納(Donald E.Knuth),(美)奧倫‧帕塔什尼克(Oren Patashnik) 著

葛立恆，美國數學家，加州大學聖迭戈分校電腦科學與工程系主任，曾任貝爾實驗室數學系主任，美國數學學會主席和總統科技顧問。他是一位組合數學的專家，還是一位玩雜耍的很好高手。

目錄

1 遞迴問題

1.1 漢諾塔問題

1.2 直線劃分平面問題

1.3 約瑟夫問題

習題

2 求和

2.1 表示法

2.2 求和與遞歸

2.3 求和的運算方法

2.4 多重求和

2.5 求和方法一覽

2.6 差分與求導

2.7 無窮項求和問題

習題

3 整數函數

3.1 向上取整函數和向下取整函數

3.2 取整函數的應用

3.3 取整函數的遞迴表示法

3.4 mod：二元運算

3.5 取整函數的求和

習題

4 數論

4.1 整除性

4.2 素數

4.3 素數範例

4.4 階乘的因子

4.5 互質

4.6 mod：同餘關係

4.7 獨立餘數

4.8 應用

4.9 歐拉函數與默比烏斯函數

習題

5 二項式係數

5.1 基本恆等式

5.2 基本練習

5.3 應用技巧

5.4 生成函數

5.5 超幾何函數

5.6 超幾何變換

5.7 超幾何部分求和

5.8 算法化求和

習題

6 特殊數

6.1 斯特林數

6.2 歐拉數

6.3 調和數

6.4 調和級數求和

6.5 伯努利數

6.6 斐波那契數列

6.7 連續式

習題

7 生成函數

7.1 多米諾理論與零錢支付方案

7.2 基本策略

7.3 遞歸式求解

7.4 特殊生成函數

7.5 卷積運算

7.6 指數型生成函數

7.7 狄利克雷生成函數

習題

8 離散機率

8.1 定義

8.2 均值與方差

8.3 機率生成函數

8.4 擲硬幣

8.5 哈希法

習題

9漸近理論

9.1 漸近量級

9.2 0記法

9.3 0運算

9.4 兩個漸近技巧

9.5 歐拉求和公式

9.6 結論

習題

A 習題答案

B 參考文獻

C 習題來源